Алексей Николаевич Граббе родился 2 июля 1947 года в Москве в семье актеров.
Отец, Николай Карлович Граббе — киноактер.
Мать, Маргарита Александровна Докторова — театральная актриса.
Заслуженный артист России.
Из интервью
"Учился я в знаменитой тогда в Москве школе-интернате № 12. Эта школа была устроена после визита Н. С. Хрущева в США на манер тамошних элитных интернатов. Только у нас она предназначалась для детей, как сейчас говорят, из "неблагополучных семей", поэтому меня приняли туда "в порядке исключения", поскольку жил я рядом, а родители почти всегда были на работе или в разъездах. В школе "неблагополучных детей" обучали в числе прочего фехтованию, боксу, атлетике, автоделу, английскому языку, игре на фортепьяно и пению в хоре, был свой театр. Еще я занимался на киностудии во Дворце пионеров операторском мастерством. С 16 лет по желанию отца перешел в вечернюю школу и начал работать токарем на заводе при НИИ Радио. Поступил на заочное отделение в Институт связи, но через год ушел и поступил в Театральное училище имени Щукина на курс Ю. В. Катина-Ярцева. Со 2-го курса участвовал в спектаклях старших курсов и театра имени Вахтангова. В 1971 году закончил училище и получил приглашения в Театр на Малой Бронной и в Театр на Таганке. С тех пор работаю в этом театре." (из интервью).
—----------
Из интервью для сайта Театра на Таганке (март 2004 года, с актером Театра на Таганке Алексеем Граббе беседовала Валерия Гуменюк):
— Алексей Николаевич, Вы из актерской семьи, определило ли это Ваш приход в актерскую профессию и непосредственно в Театр на Таганке?
— Да, конечно. Этот театр образовался, если я правильно помню, в сорок шестом — сорок седьмом году, сам я родился в сорок седьмом. Здесь до него был то ли Филиал Малого театра, то ли что-то еще. Когда-то здесь вообще был кинотеатр, поэтому и сцены настоящей у нас по сути нет: нет верха, нет карманов. Сколько можно — приспособили, этим летом была мощная реконструкция, подняли потолок, стало возможным хоть что-то спрятать. И здесь работала моя мама, тогда еще театр назывался не Театром на Таганке, а Театром драмы и комедии. Был в этом театре оркестр, и я с музыкантами, в подвале, где у них была оркестровая яма, проводил все свое время, потому что оставлять меня было не с кем. Моя бабушка, которая работала вообще-то как финансист, главный банкир Москвы в свое время, получила образование в Гнесинском училище и была любимой ученицей Елены Фабиановны Гнесиной. У нее было меццо-сопрано, и она меня приобщала к музыке с детства, так что я с музыкантами в основном проводил время и здесь вырос. Когда театр стал уже Театром на Таганке, я как раз поступил в Щукинское училище, закончил его, и получил приглашения в Театр на Малой Бронной и сюда. Ну и так сложилось, что я попал сначала на Малую Бронную, а потом в Театр на Таганке.